|
|
|
|
|
|
|
|
מתמטיקה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה
החופשית
מתמטיקה היא מכלול הידע והתחום האקדמי החוקר
מושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. יש המציגים
אותה כמדע של דפוסים (תבניות משותפות), וכי
המתמטיקאים מחפשים דפוסים: במספרים, במרחב, במדע,
במחשבים ובהפשטות דמיוניות.
המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר
השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע
והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי
וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של
הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים,
הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר
בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את
המתמטיקה עד היום:
הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם
הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת. המספר
5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה
עוסקת במספר כיישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר.
המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל,
אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר
נפח ומושלם בצורתו.
הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה
רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם. מושג המספר
כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים
למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם
למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת
ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה.
הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את
נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק.
המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו
לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות
מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שאי אפשר להוכיחן או
להפריכן), והגדרות שנבחרו בהתאם. הוכחות פורמליות
הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד
ב"יסודות" של אוקלידס.
פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד
תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים
קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה.
דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך
החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי. שני
כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום.
המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה
במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון
כלכלה ופסיכולוגיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים
ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות,
ולעתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין
בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב
ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם
כי לעתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים
לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד. |
| |
את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה גדלה והולכת
של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה
הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה כי
לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה
משותפת היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית.
בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם
הפרהיסטורים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים,
כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה
באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות
החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
על מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת
אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן
ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה
לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונת
הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר
הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-2000 שנה לפני
הספירה בטקסטים כגון פפירוס רינד.
בראשית ההיסטוריה המתועדת, נוצרו התחומים המרכזיים
במתמטיקה מתוך הצורך בחישובים לצרכי מס ומסחר,
בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים ובחיזוי
אירועים שמיימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של
המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי.
חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל
ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות
ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות
ושימוש בטבלאות שונות.
מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי
גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות
מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות
להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה
הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים
מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה
עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה
והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים
שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון
דיפרנציאלי ואינטגרלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים
רבים. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית במאה ה-19
הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת
התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19
פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות
המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה
המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות
שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה
להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש,
מדעי המחשב.
למרות כל ההישגים הללו, המתמטיקה רחוקה מלהיות
מושלמת. מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים
חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה,
בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review,
שנוסד ב-1940, היו בינואר 2006 מעל 1,900,000
מאמרים וספרים, תוך שכ-75 אלף נוספים אליו מדי
שנה. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים
מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם. |
| |
קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".
במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית
(שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה
המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק
שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את
הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם הגשמי בלבד (שבו
עוסקים מדעי הטבע), אזי מתמטיקה - או לפחות
מתמטיקה טהורה - אינה מדע.
פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת
להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר
למדע. באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם
"מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים
קשורים אך אינם חופפים. בשנות ה-30 של המאה ה-20
הראו מחקרים בתחום הלוגיקה המתמטית כי לא ניתן
לצמצם את המתמטיקה ללוגיקה, ופופר הסיק כי "רוב
התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה
והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן,
מתברר כי המתמטיקה הטהורה קרובה הרבה יותר משנדמה
לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על
ניחושים".
השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון
פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות
שמטרתן להתאים אותה למציאות. הפיזיקאי התאורטי
ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן
המתמטיקה נכללת בתוכו.על כל פנים, למתמטיקה יש
הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים. תפיסת
המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים,
היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה
הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס. גלילאו גליליי אמר:
הפילוסופיה - הרי היא כתובה בספר הגדול הפרוש מאז
ומעולם לנגד עינינו - כוונתי ליקום - אך איננו
יכולים להבין אם איננו לומדים את השפה ותופסים את
הסמלים שבהם היא כתובה. שפה זו היא המתמטיקה.
מתמטיקה נסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה,
וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן
במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה
של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת
בשיטה המדעית. בספרו A New Kind of Science
(2002) טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית
ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו.
דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות. יש
הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה
של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע
האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר
של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי
המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה
עצמה.
בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה
לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד
המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים.
למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים
תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים
הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה
הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית,
ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה
להמשיך בלימודים באוניברסיטה. |
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
| | |
